ゲーム理論 / インセンティブ / ナッシュ

二人とも刑期を短くしたいのに、なぜ一緒により重く判かれるのか

各囚人は自分の刑期を短くしたい。各自が私下に推論すると、相互沈黙より二人とも悪いマスに止まりうる——繰り返しや信頼できる罰がゲームを書き換えるまでは。

囚人のジレンマ概観

二つの合理的選択が、二人をより悪いマスに閉じ込めうる

囚人のジレンマは 2×2 のゲームです。各自が独立に協力か裏切りかを選びます。ここでの利得は服役年数——個人にとっては数字が小さいほど良い。

両者が沈黙（協力）すれば短い刑期。一方だけが自白（裏切り）すれば、自白者は釈放に近く、沈黙した側が最長を食らう。両方自白すれば中程度——二人合計では相互沈黙より悪い。

まず三点

  • まず利得行列

    物語は CC・CD・DC・DD の四マスに収まる。

  • 支配戦略

    相手の手を所与とすれば、裏切りが自分の刑期を短くしがち。

  • ナッシュ ≠ 集団最適

    相互裏切りは安定しうる。相互協力の方が二人とも良いのに。

ステップ 01

誰が悪いか言う前に、利得行列を読む

行があなたの手、列が相棒の手。各マスは（あなたの年数、相棒の年数）。数字が衝突をはっきりさせる：裏切りは私的に魅力的で、協力は二人合計では優しい。

神秘的な心理はまだ出てこない——インセンティブの地図だけ。相手の手を縛れないとき、利己的な選択者がどう動くかは次の段。

見るべき点

  • 小さいほど良い

    利得は服役年数。効用点のように大きいほど良いわけではない。

  • 誘惑の非対称

    相手が協力なら、単独裏切りが得。

  • 対称の罠

    相手も裏切るなら、それでも裏切りの方がマシ。

ステップ 02

相手の手を固定して——刑期を短くする手を選ぶ

相棒の選択を固定し、自分の二手だけ比べる。相手が協力なら、裏切りで 1 年が 0 年に。相手が裏切りなら、3 年が 2 年に。

これが支配戦略：相手が何をしても、私的には裏切りが協力に勝つ。ここでの合理性は「自分の年数を最小化」であり、「二人の安らぎを最大化」ではない。

ここで変わること

  • 条件付き比較

    支配は列ごと（または行ごと）に確かめる。

  • 読心は不要

    相手の手を知らなくても裏切りを好みうる。

  • まだ一回限り

    将来の罰も次局もない。

ステップ 03

同じ推論をすると、より悪いマスで出会う

裏切りがあなたにも相手にも支配的なら、一回限りの予測は相互裏切り：各 2 年。単独で協力に戻しても得はない——刑期が 2 から 3 に上がるだけ。

これがナッシュ均衡：誰も一方的な逸脱で得をしない戦略の組。安定は、二人の幸福とは別物。

ここで変わること

  • ナッシュ＝単独脱出不可

    DD から一人だけ協力に戻すと、戻した側が損。

  • CC は単独では不安定

    CC から一人だけ裏切ると誘惑を得られる——だから信頼か強制が要る。

  • 対称推論

    双方が同じ支配ロジックを使うと罠が締まる。

ステップ 04

年数を足す：安定マスは合計では優しくない

二人の刑期を足す。CC 合計 2 年、DD 合計 4 年。ナッシュ結果は、相互沈黙なら守れた二年分の自由を浪費する。

システムの決め台詞：個別合理の最適反応が、集団としてはより悪い台帳になりうる。差は計算ミスではなく、私的目的と共同目的の衝突。

ここで変わること

  • 厚生 ≠ ナッシュ

    合計年数では CC が DD より上。DD の方が安定でも。

  • パレートの直感

    DD から CC へ移すと、双方を損なわずに双方を助けうる。

  • 仕組みが要る

    CC へ行くにはコミット・評判・罰が要ることが多い。

ステップ 05

ゲームを繰り返す——信頼できる罰が協力を守りうる

一回限りでは裏切りが支配。将来がある繰り返しでは、しっぺ返し（相手の直前を真似る）や冷酷トリガー（一度の裏切り後は永久罰）が、協力をインセンティブ適合にしうる。

鍵は信憑性：脅した罰を本当に実行すること、そして将来の影が十分長く、今日の誘惑が明日の罰に見合わないこと。

ここで変わること

  • 将来の影

    継続価値が一回の誘惑を上回りうる。

  • しっぺ返しの直感

    最初は善人；直前を鏡写し；罰は比例的に。

  • 魔法ではない

    既知の終点・ノイズ・弱い監視は罠を再び開きうる。

システムを組み立て直す

私的な最適反応は共有の損失に積み上がりうる——将来（やルール）が行列を書き換えるまでは

囚人のジレンマは「愚かな選手」の話ではない。一回の出会いでは裏切りが私的に安全なので、相互裏切りが安定予測になる——相互協力の方が年数を浪費しにくいのに。

仕組みが重要：繰り返し、評判、契約、信頼できる罰が有効ゲームを変える。それらが弱いとき、ナッシュの罠は残る。

読み手チェックリスト

  1. 四マスと、誰の年数がどこにあるかを言える。
  2. 支配を確認：相手の両手に対し裏切りが協力に勝つか。
  3. ナッシュの安定と合計厚生を分けて見る。
  4. 一回限りか繰り返しかを問う。
  5. 協力が見えたら、支える執行や将来の影を特定する。

罠の四手

  • 行列数字は何か？

    四マスが誘惑・報酬・カモ・罰を定義する。

  • 支配私的に何が安全？

    古典的一回 PD では裏切りが双方向で勝つ。

  • ナッシュ最適反応はどこで会う？

    相互裏切りは、集団的に悪くても安定しうる。

  • 繰り返し何がインセンティブを書き換える？

    将来ラウンドと信頼できる罰が協力を守りうる。

ジレンマは人が害を望むことではない——別々には筋の通る選択が、共有の害に合成されうることだ。

教材注：利得は様式化された服役年数（CC 1,1；DC 0,3；CD 3,0；DD 2,2）。実司法・ノイズ・不完全監視は細部を変える。私的支配と共同効率の衝突が要点。