增长 / 复利 / 指数直觉
每天多赚 0.1%，一年后你会差多少？
脑子里的「每天多一点」常常画成直线；真要按日率再投入，就是连乘 (1+r)^n。本图解对照线性直觉与离散复利，只讲机制，不是炒股教程。
复利总览
直线直觉，对上一条往上弯的曲线
很多人把固定日率当成固定日增量：每天加同一块，加完就停。这是线性思维——好画，但对应不了「再投入」。
复利是每期用 (1+r) 去乘当前余额。前几天几乎贴着直线；后面几天会甩出线性加总永远补不上的缺口。冲击感来自曲线形状，不是发财故事。
先记住三点
- 加总 vs 连乘
线性路径加固定量；复利路径每步乘 (1+r)。
- r 很小，n 很多
日率不起眼，重复几百次就不再「不起眼」。
- 机制，不是荐股
本页讲离散复利，不教你挑资产或跑赢市场。
步骤 01
同一笔本金、同一个日率——两种记账
固定起点余额和日率 r。路径 A 每天加上同样的绝对量（好比把昨天赚到的拿走、不再放回去）。路径 B 每天把整笔余额乘以 (1+r)。
两边的 r 一样，差别只在记账：加总还是再投入。演示数字故意玩具化，好让形状可读。
留意什么
- 同一起点
两条路径从同一本金出发。
- 同一率标签
日率百分比相同，更新规则不同。
- 差距随 n 变大
天数够了，再投入路径会明显高于加总。
步骤 02
「每天多 0.1%」其实是连乘 365 次
千分之一听起来可以忽略。离散复利换个问法：把这个因子连乘三百六十五次，会怎样？
封闭形式就是 起点 × (1+r)^n。不必恐吓式公式——只要看见：很多次小乘法，会甩开脑子里的「0.1% × 365」。
留意什么
- (1+r)^n
每天乘一次，指数就是天数。
- 不是 0.1% × 365
天真的线性外推会漏掉「利滚利」。
- 玩具数字
示意日率只教形状，不是预测。
步骤 03
同一日率，不同窗口：30 天、一年、好几年
指数敏感不只看 r，还看你允许多少次连乘。固定 r，拉长时间：一个月、一年、好几年。
短窗口里曲线几乎像直线；窗口一长，弯度就显眼。这是时间依赖，不是任何真实组合的承诺。
留意什么
- n 是旋钮
窗口长度和 r 一样能改变观感。
- 短 ≈ 平
三十步常常贴线；三百六十五步不会。
- 多年再叠
多年窗口等于把同一规则叠好几个季节。
步骤 04
两条路径并排——再轻提一句真实世界
把稍慢的日率和稍快的日率叠在一起。比的是相对增速，不是荐股：小小的率差，会在终点变成大缺口。
真实世界里，名义复利还可能被价格总水平上涨（通胀）啃掉一块。提醒一句：账本上的单位 ≠ 购买力——更深的通胀故事在另一页。
留意什么
- 相对差距
两条不同 r 的复利路径会先缓后猛地分叉。
- 名义 vs 实际
账本增长是名义量；物价也可能涨。
- 仍然不是建议
没有推荐——只有率和时间的几何关系。
把系统拼回去
复利是随时间连乘——不是脑子里的直线加总
离散复利每期用 (1+r) 更新余额。线性直觉加固定切片，会低估「利滚利」一旦启动后缺口怎么拉开。
记住三个旋钮——利率、天数、是否再投入——再读「每天多一点点」的标题，就会先问机制，而不是当理财广告。
读者自检
- 先问故事是在加固定量，还是在乘 (1+r)。
- 数清期数 n——不只看 r 的大小。
- 把玩具演示和真实市场、费用、风险分开。
- 本页只讲机制——不是投资建议。
四个动作
- 加总线性直觉在干什么？
每天加固定切片。
- 连乘复利在干什么？
用 (1+r) 乘当前余额。
- 窗口什么拉大弯度？
更多期数让曲线离开直线。
- 实际什么仍可能侵蚀增益？
价格总水平上涨会摊薄购买力。
意外的往往不是那个率——而是连乘了多少次。
教学说明（公共教育 / 复利）：演示使用示意日率的离散按日复利。连续复利、浮动利率、费用、税收与资产风险更复杂。本页只讲机制——不是预测或投资建议。Wikipedia「Compound interest」可作背景阅读；本题未以 Wiki 热度为主推依据。